Números ( II )
(Vamos a seguir aburriendo a los que no les gustan las matemáticas)
En los sistemas anteriores siempre utilizamos los mismos símbolos y en el mismo orden. Sin embargo esto no tiene porqué ser así. Supongamos que a mí se me ocurre una Base S {5,&,3,@} que cumplen con lo siguiente:
{5}_S = {0}_4 = {0}_10
{&}_S = {1}_4 = {1}_10
{3}_S = {2}_4 = {2}_10
{@}_S = {3}_4 = {3}_10
Y vamos a efectuar la suma {3@5+@3&}_S
& + 5 = & [Respuesta: ---&]
3 + @ = & (y me llevo &) [Respuesta: --&&]
3 + @ + & = &3 [Respuesta: &3&&]
Para comprobar esto pasamos a decimal:
{3@5}_S = {230}_4 = 0*4^0 + 3*4^1 + 2*4^2 = 0 + 12 + 32 = {44}_10
{@3&}_S = {321}_4 = 1*4^0 + 2*4^1 + 3*4^2 = 1 + 8 + 48 = {57}_10
44 + 57 = 101
Sabemos como pasar de cualquier base a sistema decimal; pero ¿cómo pasamos de decimal a otra base?
El secreto está en los restos de hacer divisiones con cocientes enteros (sin decimales). En nuestro caso vamos a pasar de base 10 a base 4 por lo que dividimos por 4:
101 = 4*25 + 1
Ahora dividimos los cocientes también por 4 hasta que el cociente sea 0:
25 = 4*6 + 1
6 = 4*1 + 2
1 = 4*0 + 1
Introducimos cada fórmula en la anterior para quedarnos con otra expresión de lo mismo:
6 = 4*1 + 2
25 = 4*(4*1 + 2) + 1
101 = 4*[4*(4*1 + 2) + 1] + 1
Resolviendo los paréntesis y corchetes distribuyendo nos queda:
101 = 1*4^3 + 2*4^2 + 1*4 + 1
Ésta es precisamente la forma de expresar un número en base 4 según la fórmula que vimos ayer. Y los valores son justamente los restos de cada división:
101 = 4*25 + 1 => 1*4^3 + 2*4^2 + 1*4 + 1 => {1211}_4
25 = 4*6 + 1 ===> 1*4^3 + 2*4^2 + 1*4 + 1 => {1211}_4
6 = 4*1 + 2 ====> 1*4^3 + 2*4^2 + 1*4 + 1 => {1211}_4
1 = 4*0 + 1 ====> 1*4^3 + 2*4^2 + 1*4 + 1 => {1211}_4
Conociendo la relación de los símbolos de nuestra base con los símbolos de la base 4 podemos afirmar que:
{101}_10 = {1211}_4 = {&3&&}_S
Lo que habíamos obtenido, confirmando que realizamos bien la suma.
El procedimiento parece largo y complicado; pero no es así, es totalmente mecánico. Acá está explicado en detalle y con todos los fundamentos, no hace falta repetir todo cada vez. Aún así, me parece importante saberlo por dos razones:
- El saber los fundamentos de todos los procedimientos (mecánicos) que hacemos nos ayuda a evitar errores y tener alguna forma de corroborar que lo hicimos bien
- Los fundamentos son la forma más fácil de recordar un procedimiento. No hace falta aprendérselo de memoria o confiar en que lo recordaremos bien cuando sea necesario; el saber los fundamentos nos asegura que sabremos hacerlo.
P.D.1: Se aceptan críticas de este texto y de las modificaciones que le hice al anterior
P.D.2: La demora se debe a que anoche se tildó la máquina justo antes de subir el texto (que no tenía en ningún otro lado) así que lo tuve que redactar nuevamente.
P.D.3: Dedicado a Marta que fue la que me ayudó a poner todas estas ideas en orden ;)
En los sistemas anteriores siempre utilizamos los mismos símbolos y en el mismo orden. Sin embargo esto no tiene porqué ser así. Supongamos que a mí se me ocurre una Base S {5,&,3,@} que cumplen con lo siguiente:
{5}_S = {0}_4 = {0}_10
{&}_S = {1}_4 = {1}_10
{3}_S = {2}_4 = {2}_10
{@}_S = {3}_4 = {3}_10
Y vamos a efectuar la suma {3@5+@3&}_S
& + 5 = & [Respuesta: ---&]
3 + @ = & (y me llevo &) [Respuesta: --&&]
3 + @ + & = &3 [Respuesta: &3&&]
Para comprobar esto pasamos a decimal:
{3@5}_S = {230}_4 = 0*4^0 + 3*4^1 + 2*4^2 = 0 + 12 + 32 = {44}_10
{@3&}_S = {321}_4 = 1*4^0 + 2*4^1 + 3*4^2 = 1 + 8 + 48 = {57}_10
44 + 57 = 101
Sabemos como pasar de cualquier base a sistema decimal; pero ¿cómo pasamos de decimal a otra base?
El secreto está en los restos de hacer divisiones con cocientes enteros (sin decimales). En nuestro caso vamos a pasar de base 10 a base 4 por lo que dividimos por 4:
101 = 4*25 + 1
Ahora dividimos los cocientes también por 4 hasta que el cociente sea 0:
25 = 4*6 + 1
6 = 4*1 + 2
1 = 4*0 + 1
Introducimos cada fórmula en la anterior para quedarnos con otra expresión de lo mismo:
6 = 4*1 + 2
25 = 4*(4*1 + 2) + 1
101 = 4*[4*(4*1 + 2) + 1] + 1
Resolviendo los paréntesis y corchetes distribuyendo nos queda:
101 = 1*4^3 + 2*4^2 + 1*4 + 1
Ésta es precisamente la forma de expresar un número en base 4 según la fórmula que vimos ayer. Y los valores son justamente los restos de cada división:
101 = 4*25 + 1 => 1*4^3 + 2*4^2 + 1*4 + 1 => {1211}_4
25 = 4*6 + 1 ===> 1*4^3 + 2*4^2 + 1*4 + 1 => {1211}_4
6 = 4*1 + 2 ====> 1*4^3 + 2*4^2 + 1*4 + 1 => {1211}_4
1 = 4*0 + 1 ====> 1*4^3 + 2*4^2 + 1*4 + 1 => {1211}_4
Conociendo la relación de los símbolos de nuestra base con los símbolos de la base 4 podemos afirmar que:
{101}_10 = {1211}_4 = {&3&&}_S
Lo que habíamos obtenido, confirmando que realizamos bien la suma.
El procedimiento parece largo y complicado; pero no es así, es totalmente mecánico. Acá está explicado en detalle y con todos los fundamentos, no hace falta repetir todo cada vez. Aún así, me parece importante saberlo por dos razones:
- El saber los fundamentos de todos los procedimientos (mecánicos) que hacemos nos ayuda a evitar errores y tener alguna forma de corroborar que lo hicimos bien
- Los fundamentos son la forma más fácil de recordar un procedimiento. No hace falta aprendérselo de memoria o confiar en que lo recordaremos bien cuando sea necesario; el saber los fundamentos nos asegura que sabremos hacerlo.
(continúa...)
P.D.1: Se aceptan críticas de este texto y de las modificaciones que le hice al anterior
P.D.2: La demora se debe a que anoche se tildó la máquina justo antes de subir el texto (que no tenía en ningún otro lado) así que lo tuve que redactar nuevamente.
P.D.3: Dedicado a Marta que fue la que me ayudó a poner todas estas ideas en orden ;)
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